投资科学

03/09/2022 00:00

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量化

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数学

教材

引言

当花费和收入是以现金来表示的时候，任何时候的净收入都称为现金流，跨越几个时期的一系列流入就称为现金流序列。投资的目的就是要制定这些现金流序列，使他们比其他情况下更加合意。例如通过贷款就有可能把下个月的一笔大的付现金流变换成跨越几个月的一系列小额的付现金流，并且这种现金流序列的替换方式有可能比原先那种更受欢迎。

例如，从一年的开始到末尾，是(-1,1.2)，相当于年初支付1美元，年末收获1.2美元的收入。

第9章

9.2 投资者效用

区分投机和赌博的行为：

投机(Speculation)
- 承担一定的风险并获得相应的报酬。 considerable risk” and “commensurate gain)
- 缔约方具有“异质预期” (Heterogeneous expectations)。
赌博 (Gamble)
- 为了享受冒险的乐趣而在一个不确定的结果上下赌注。
- 缔约方对事件结果发生的概率认识相同。

使用效用函数来平衡预期收益、风险厌恶程度和方差：

例如：

这里可以看到不同风险偏好的投资者对不同资产的效用值判断不一致。

除了效用以外，还有一种衡量方式是确定性等价收益率(Certainly equivalent rate)

为使无风险资产与风险资产具有相同的效用而确定的无风险资产的报酬率，称为风险资产的确定性等价收益率。
由于无风险资产的方差为0，因此，其效用U就等价于无风险回报率，因此，U就是风险资产的确定性等价收益率。

6.均值方差资产组合

6.1. 资产收益

$投资总收益 = \frac{收益额}{投资额} \\ R = \frac{X_1}{X_0} \\ 收益率 = \frac{收益额-投资额}{投资额} \\ r = \frac{X_1-X_0}{X_0}$

从资产拥有者借到资产然后出售获得$X_0$，过一段时间之后购买资产还给资产拥有者，花费$X_1$，做空的投资总收益：

\[投资总收益 = \frac{收益额}{投资额} \\ R = \frac{-X_1}{-X_0} = \frac{X_1}{X_0}\]

例6.1

投资组合收益：不论投资组合总收益还是收益率，都等于相应的单个资产收益的加权总和，而每项资产的权重是其在投资组合中购买时的支出的相对权重。

6.2 随机变量

如果某随机变量可以取一个区间内的任意实数值，如室内温度等，则概率密度函数可以用来描写其概率。

期望值：随机变量x的期望值是以概率为权重所得的加权平均值

方差/标准差：

协方差：

注意这里的$E(x_1,x_2)$指的是$E(x_1x_2)$。
如果协方差为0，不相关。
如果协方差大于0，正相关。
如果协方差小于0，负相关。

和的方差：

6.3 随机收益

均值-标准差图像：

6.4 投资组合均值和方差

投资组合的期望收益和方差

这里的求和实际上可以画成一个协方差矩阵，如下所示：

分散化

在投资组合中加入新的资产会使资产组合收益的方差下降，这个过程被称为分散化，这反应这样的一句格言，不要把所有鸡蛋放在一个篮子里。

假设n个资产之间互不相关，分散化投资也能降低风险。

在资产组合的收益存在相关性的情况下，无论资产的数量取多大，都不可能使方差降低至低于某一个基准值的水平。例如以下的例子，假设资产之间的协方差均为$0.3σ^2(i≠j)$

一般来讲，分散化降低方差的同时也降低期望收益率，大多数人并不会愿意为了方差很小的下降来牺牲较大的期望收益率。就是这个原因激励马克维茨发展了一般的均值方差分析方法，他认为应该在均值和方差之间进行权衡。

投资组合的收益-标准差图像

随着α的变化新的投资组合描述出了一条包含资产1和资产2的曲线。

曲线的实现部分表示资产的权重为正的组合，虚线部分表示卖空某项资产。

更具体的：

其中ρ为两种资产的相关系数，从图中可以看出，ρ越小，在同等收益下，风险越小。

6.5 可行集合

与所有投资组合对应的点的集合被称为可行集合或者可行区域。可行区域满足两个重要的特性，

若至少有三种资产，则可行集合是一个二维的实心区域
可行区域凸向左边。

n种风险资产的组合二维表示

可以用matlab的金融工具箱来模拟这个可行集。

最小方差集和有效边界

在可行集中，有一部分资产组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些资产组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率;在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件(均方准则)的资产组合，称之为有效资产组合;

由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界(efficient frontier of risky assets)。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它资产组合则无须考虑。

可行集的左边界被称为最小方差集(Minimum-variance set)，因为在可行集左边界的点都是在任意的均值水平下方差最小的点(位于可行区域的左边界中)。在此集合有一特殊的点，这一点具有最小的方差，被称为最小的方差点(Minimum variance point).

总结如下：

A、两种资产的可行集

完全正相关是一条直线
完全负相关是两条直线
完全不相关是一条抛物线
其他情况是界于上述情况的曲线 B、两种资产的有效集
左上方的线 C、多个资产的有效边界
可行集:月牙型的区域
有效集:左上方的线

参考： markowitz portfolio theory efficient frontier cfa-course.com

案例分析

相关系数ρ越小，最小方差越小。

6.6 马克维茨模型

我们现在需要为最小方差的投资组合建立数学表达式，在可行集中具有这一均值的最小方差的可行投资组合，构建问题如下：

可以通过拉格朗日乘数λ和μ来解决带有约束条件奥的最优化问题。
有效集方程：

例6.9

由对称性得最小方差点在$\overline{r}=2$处。

6.9 单基金定理

如果允许无风险资金贷出和借入，有效集就是单一的直线，即是三角形可行集的上界。

单基金定理：存在一只有风险资产组合而成的基金F使得任意的有效投资组合都可以由F和无风险资产组合而得。

第7章资本资产定价模型

7.1 市场均衡

市场组合

市场证券组合是由所有风险证券组成的证券组合。在这个证券组合中，投资在每种证券上的比例等于它的相对市场价值。每一种证券的相对市场价值等于这种证券的总市场价值除以所有证券的总市场价值。

市值是时刻在变化的，所以这个权重$v_i$是时刻在变化的。

在CAPM理论中，之所以市场证券组合起着中心的作用，是因为，当证券市场达到均衡时，市场证券组合即为切点证券组合，从而，每个人的有效集都是一样的:由通过无风险证券和市场证券组合的射线构成。

证券市场均衡

市场均衡
- 货币市场均衡:借、贷量相等，从而，所有个体的初始财富的和等于所有风险证券的市场总价值。
- 资本市场均衡:每种证券的供给等于需求。
均衡的定义

这是一个供需不均衡的例子，在不均衡的情况下，供过于求的资产B价格会下降，导致其期望回报率上升，而这又会刺激投资者对这些证券的需求。这种调整一直持续到切点证券组合T中包含每一种风险证券。

7.2 资本市场线

资本配置线

资本配置(Capital Allocation)

是资产组合构建中最重要的问题
在大类的资产种类中进行选择

控制风险的简化方法:只需控制投资于风险资产组合和无风险资产组合的比重。

通过在无风险资产和风险资产之间合理分配投资基金，有可能建立一个完整的资产组合。

假设分配给风险资产组合P的比例为y
分配给无风险资产 F的比例是(1-y)

风险资产的预期收益和风险决定了资本配置线的斜率。

借贷利率不相等时的可行集

风险容忍度与资产配置

风险容忍度

设定效用函数和风险厌恶系数之后，可以求出一些离散点的效用函数：

在给定效用函数的情况下，可以确定获得最大效用的y值，对上面的左边式子对y求导数，求得最值情况下的 $y^* = \frac{E(r_p)-r_f}{A{σ_p}^2}$

画出折线图如下所示：

类似的，可以按照U的不同画出相应的等效用曲线(无差异曲线, Indifference Curves)

可以看到，在投资者风险厌恶系数高的时候，在同样风险情况下，需要更高的收益才能达到投资者的预期效用。换句话说，风险厌恶系数决定了等效用函数的弯曲程度。

可以用等效用曲线结合资本配置线来寻找最优组合，最优组合就是和资本配置线相切的效用曲线。资本配置线可以理解为可实现的效用，在可实现的情况下去追求最高效用，就是用CAL(Capital Allocation Line)曲线恰好切到相关的等效用曲线，这个切点就是最优组合。

在确定无风险资产和风险资产的比例之后，需要确定风险资产具体选择什么。

被动策略选择风险资产(CML)

有一种选择的办法是用被动策略，直接复制市场。

在这种情况下，资产配置线变成了资本市场线(The Capital Market Line)，可以把CML看成是CAL的特例。

在均衡的时候，市场组合就是最优的P点。跟踪市场组合就是指数基金的原理。长期起来说，任何策略都很难战胜市场。

若市场处在均衡状态，即供给=需求，且每一位投资者都购买相同的风险基金，则该风险基金应该是何种基金呢?(对这个问题的回答构成了CAPM的核心内容)
风险基金=市场组合(Market portfolio):与整个市场上风险证券比例一致的资产组合。对股票市场而言，就是构造一个包括所有上市公司股票，且结构相同的基金(如指数基金)。
因为只有当风险基金等价与市场组合时，才能保证:(1)全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和——市场均衡;(2)每个人购买同一种风险基金——分离定理。

主动策略选择风险资产

另一种选择的办法是使用主动策略，这里假设我们打算选择债券和股票，现在要解决的问题是债券和股票的配置比例分别是多少？才是一个最小方差组合，这里显然需要在6.5中描述的有效边界中寻找。

在知晓了有效边界的情况下如何确定我们的资产配置线，在这里我们可以先随便画两条，比如连接最小方差点和原点，即图中的CAL(A)，或者是斜率高于CAL(A)的CAL(B)。

问题：这里A和B哪个更优？

在斜率越大的情况下，承担相同的风险，预期收益越高。所以B更优。类似的，我们的最优解应该是有效边界上满足资产配置线斜率最大的点，这个点正好是资产配置线和有效边界的相切点。这里假设只有两种风险资产，具体代数求解过程如下：

7.3 定价模型

假设

假设1:在一期时间模型里，投资者以期望回报率和标准差作为评价证券组合好坏的标准，所有投资者都是价格接受者。
假设2:所有的投资者都是非满足的。
假设3:所有的投资者都是风险厌恶者。
假设4:每种证券都是无限可分的，即投资者可以购买到他想要的一份证券的任何一部分。
假设5:无税收和交易成本。
假设6:投资者可以以无风险利率无限制的借和贷
假设7:所有投资者的投资周期相同。
假设8:对于所有投资者而言，无风险利率是相同的。
假设9:对于所有投资者而言，信息可以无偿自由地获得。
假设10:投资者有相同的预期，即，他们对证券回报率的期望、方差、以及相互之间的协方差的判断是一致的
分离定律

从这个图可以看出，投资者在投资风险资产的时候都选择一致的切点P，根据投资者自身风险偏好的差异，会有不同的等效用函数，这些等效用函数和CAL的切点，就是其根据自身风险偏好程度做出的最优选择。

分离定理(separation property)阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤：

决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。也就是说，每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌恶程度。
- 大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资产。
- 少数的风险厌恶者在P上投资的更多。
整个资产组合在无风险短期国库券和风险组合之间的配置，取决于个人偏好。

分离定律解决的问题是把投资和融资的问题分开了，投资者主要解决投资问题，不用考虑融资问题，不需要考虑其客户的风险偏好程度，客户自己根据其风险偏好程度选择在无风险短期国库券和风险组合之间的配置。

资本资产定价模型

投资组合的预期收益和β关系

β系数。美国经济学家威廉·夏普提出的风险衡量指标。用它反映资产组合波动性与市场波动性关系(在一般情况下，将某个具有一定权威性的股指(市场组合)作为测量股票β值的基准)。
如果β值为1.1，即表明该股票波动性要比市场大盘高10%，说明该股票的风险大于市场整体的风险，当然它的收益也应该大于市场收益，因此是进攻型证券。反之则是防守型股票。无风险证券的β值等于零，市场组合相对于自身的β值为1。

7.4 证券市场线

定义和特性

SML的定义也可以参考《财务管理》。

当我们绘制期望收益率和贝塔系数时，用来描述金融市场中系统风险与期望收益率之间关系的这条线，通常称为证券市场线（security market line，SML）。

超出证券市场线的收益的部分称为α，这个α被发现之后会被迅速套利，直到该资产回到证券市场线上。

SML给出的是期望形式下的风险与收益的关系，若预期收益高于证券市场线给出的的收益，则应该看多该证券，反之则看空。
SML只是表明我们期望高贝塔的证券会获得较高的收益，并不是说高贝塔的证券总能在任何时候都能获得较高的收益，如果这样高贝塔证券就不是高风险了。若当前证券的实际收益已经高于证券市场线的收益，则说明未来的收益会朝着SML的方向发展，则应该看空该证券，反之则看多。
当然，从长期来看，高贝塔证券将取得较高的平均收益率——期望回报的意义。
应用:计算任一资产i的期望收益：

证明过程如下：

通过该曲线可以得到如下结论：

市场组合的风险溢价：

以上公式可以从7.2的公式推导得来，在均衡的情况下，借、贷量相等，从而，所有个体的初始财富的和等于所有风险证券的市场总价值。也就是说这里的$y^*=1$

\[y^* = \frac{E(r_p)-r_f}{A{σ_p}^2}\]

所以在这种情况下，资产p就变成了市场组合M。所以公式变成了：

\[E(r_M)-r_f = \overline{A}{σ_M}^2\]

计算单个证券的收益和风险

有了证券市场线和以上公式后，我们可以计算单个证券的收益和风险：

在这里我们得到经典的CAPM公式，这里的β反映对市场组合风险的敏感性。

资本市场线`CML`和证券市场线`SML`的关系

SML虽然是由CML导出，但其意义不同 (1)CML给出的是市场组合与无风险证券构成的组合的有效集，任何资产(组合)的期望收益不可能高于CML。
(2)SML给出的是单个证券或者组合的期望收益，它是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离 SML。
均衡时刻，有效资产组合可以同时位于资本市场线和证券市场线上，而无效资产组合和单个风险资产只能位于证券市场线上.

7.5 投资含义

7.6 绩效评估

7.7 作为定价公式的资本资产定价模型

在7.8中的确定性定价公式中阐述。

7.8 项目选择

随机条件下的贴现率

确定性定价公式

项目选择的准则

对企业A而言，从企业自身看，它要选择NPV最大的项目。
对投资企业A的投资者看，投资者希望购买A公司股票后，能使得其有效边界尽可能向左方延伸——有效组合。
二者的统一就是基于CAPM的项目评估投资项目NPV最大——公司收益最大——成为有效组合——CAPM(CML)
一目致性定理:公司采用CAPM来作为项目评估的标与投资者采用CAPM进行组合选择的目标是一致的。
7.9 小结

CAPM的扩展

没有无风险资产
- 尽管短期国债名义上是无风险资产，但是，它们的实际收益是不确定的。这里的Rf点不是确定性的，在这种情况下无风险资产可能产生退化。
- CML退化:投资者不得不在风险资产的有效率边界上选择资产组合。
具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择
- CML+均方有效前沿

具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择：在这种情况下，CML被分成了两段曲线

FA： CML直线具有无风险借出，例如存银行拿无风险利息，另一部分购买风险资产组合。
PQ：均方有效前沿曲线具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择的情况下没法按照切点P往上走直线，这种情况下会落在均方有效前沿上(即图中风险资产组合曲线边界上)。这种情况下应该是看空某些风险资产来达成类似借入的目的。

无风险借贷利率不相等条件下的CML: 在这种情况下，CML被分成了三段曲线

FA： CML直线具有无风险借出存银行拿无风险利息，另一部分购买风险资产组合。
PQ：均方有效前沿曲线
QB：借款利率补偿后的CML直线

简化后如下：

局限

在Harry Markowitz均值-方差模型中，为了得到投资者的最优资产组合，要求知道:

回报率均值向量
回报率方差-协方差矩阵
无风险利率这导致估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加

与之相对的：

引入因子模型可以大大简化计算量由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。
因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。

对比CAPM与APT：

建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格!
除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在1976年建立的套利定价理论(Arbitrage pricing theory，APT)，从另一个角度探讨了资产的定价问题。
市场均衡条件下的最优资产组合理论=CAPM CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是同质性假设。
无套利假定下因子模型=APT 相反，APT的假设少得多。APT的基本假设之一是: 个体是非满足，而不需要风险规避的假设!
- 每个人都会利用套利机会:在不增加风险的前提下提高回报率。
- 只要一个人套利，市场就会出现均衡!

第8章模型和数据

8.2 因子模型

定义：因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动(相对数) 或者指标的运动有关的经济模型。

用因子模型的角度来解释CAPM。定义超额收益 $R_{it}=r_{it}-r_f$

根据资产风险定价模型，有如下收益成立；

\[\begin{aligned} R_{it} &= r_{it}-r_f \\ &= α + β_i(r_{Mt}-r_f)+φ_{it} \end{aligned}\]

其中$α$是套利机会，$φ_{it}$是误差项。在CAPM成立的情况下，对上式回归取期望，$α$和$φ_{it}$在回归后都为0。得到$E(R_{it})=β_iE(R_{Mt})$ 那么在这种情况下，实际上资产i在给定时间t的预期收益实际上是有市场组合这单个因子决定的模型，其中$β_i$是资产i受市场组合因子影响的程度，实际上也就是相关系数。

单因子模型

若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数，假设:

(1)证券的回报率仅仅取决于该指数的变化;
(2)除此以外的因素是公司特有风险——残余风险

则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。

举例说明如下：【例1】

【例2】假设构造和GDP相关的因子模型如下：

单因子模型的一般形式：

如果以下假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。

假设(1): 因子f具体取什么值对随机项没有影响，即因子f与随机项是独立的，这样保证了因子f是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么?
假设(2): 一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子f所致。

使用马克维茨模型来计算资产回报率和方差：

单因子模型的优点：

单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。
风险的分散化
- 分散化导致因子风险的平均化
- 分散化缩小非因子风险

多因子模型

单因素模型的缺点：

单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化，GDP增长率等。例子:公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。
单因素模型难以把握不同公司对不同的宏观经济因素的反应。

先分析假设把因子加到两个，看看两因子模型的情况：

延伸到多因子模型：

多因子模型的预期收益：

在充分分散化的前提下，非因子风险被消除，如图A。而图B则是没有分散化的一个例子，可以看到预期收益大致随着因子F变化但是受分因子风险影响会在这条线上下浮动。这里的斜率是资产组合的β，也就是各种证券对各个因子敏感系数的加权。

8.4 套利定价理论

套利、无套利原则

套利的定义和方法：

套利(Arbitrage)
- 是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。
- 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐!
两种套利方法:
- 当前时刻净支出为0，将来获得正收益(收益净现值为正)
- 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零(支出的净现值为0)。

套利的特征：

任何一个均衡的市场，都不会存在这两种套利机会。如果存在这样的套利机会，人人都会利用，从而与市场均衡矛盾。所以我们假设市场上不存在任何套利机会。
套利活动是现代有效证券市场的一个关键原因。
- 每个投资者都会充分利用套利机会
- 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会

举例

假设现在6个月即期年利率为10%(连续复利，下同)，1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为 11%，则有套利机会。套利过程是:

交易者按10%的利率借入一笔6个月资金(假设1000万元)
签订一份协议(远期利率协议)，该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元(等于1000e0.10×0.5)。
按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。
1年后收回1年期贷款，得本息1127万元(等于1000e0.12×1)，并用1110万元(等于1051e0.11×0.5)偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元(1127万元-1110万元)。

这是哪一种套利? 当前时刻净支出为0，将来获得正收益(收益净现值为正)

套利的使用范围：

套利不仅仅局限于同一种资产(组合)，对于整个资本市场，还应该包括那些“相似”资产(组合) 构成的近似套利机会。
无套利原则(Non-arbitrage principle)
- 根据一价定律(the law of one price)，两种具有相同风险的资产(组合)不能以不同的期望收益率出售。
- 套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失!

APT与CAPM的比较：

APT的基本原理:由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产(组合)应提供相同的期望收益率。
APT与CAPM的比较
- APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于无套利原则和因子模型。
- 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
- 不要求投资者是风险规避的!

APT的基本假设

假设1:市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的(Perfectly competitive and frictionless capital markets)
假设2:投资者是不知足的:只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。
假设3:所有投资者有相同的预期:任何证券i 的回报率满足因子模型:
假设4： $e_i$与所有因子不相关且$E[e_i]=0 Cov(e_i,e_j)=0$
假设5:市场上的证券的种类远远大于因子的数目k。

这里假设因子的期望等于0，即在t-1时刻对t时刻的预期为0、

构建套利组合(Arbitrage portfolio)

渐进套利证券组合定义:如果一个证券组合满足下列三个条件:

(1)零投资，初始成本为零; 套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资(Self-financing)组合。
(2)无风险，对因子的敏感度为零: 在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。
(3)正收益，期望回报率为正。套利组合的期望收益大于零。

这个渐进的意思是当N充分大的时候，才能真正消除资产之间的非因子风险，从而达到第二个无风险的条件。

\[r_i=\overline{r_i}+b_if+e_i\]

举例如下：

面对套利组合，投资者采取的行为

对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。
在上面的例子，因为(0.1,0.075, -0.175)是一个套利证券组合，是一个套利组合，所以每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资者都采用这样的策略，结果导致证券1和2的价格上升，收益率下降。证券3的价格将下降，收益率上升。这种价格和收益率的调整过程一直持续到所有套利机会消失为止，此时，证券市场处于一个均衡状态。

均衡状态下有如下关系：

这里的$λ_0$是截距。$λ_1$是斜率，在均衡时，证券的期望收益率是它的因子敏感度的线性函数。举例如下：

图示如下：

这里的横轴是$b_i$，纵轴是$\overline{r_i}$。

这个和SML有类似之处，SML可以理解成单因素模型，这个因素就是市场组合。