财务管理
1. 如何判斷一只股票的價格是否合理？李永樂老師講『貼現法』對股票估值
1.1. 贴现概念
今天的1元大于明年的1元，如果利息是r，那么今年是x元，n年后是$x(1+r)^n$。
n年后x换算成现在就是$x/(1+r)^n$。
这里的r就是贴现率。
r具体包括：
- 无风险利率(例如银行的利率)
- 风险利率
- 通货膨胀
【例】中国银行的永久债券产品4.5%的每年分红。
D = 4.5
假设无风险利率/风险利率/通货膨胀分别是3%/1%/4%
r = 3% + 1% + 4% = 8%
在这里代入数字，可以得到这个债券的价格，$P=\frac {4.5}{8\%}=56.25$
价格难确定的点在于r的不确定， 具体来说风险补偿和通货膨胀都不好确定。
1.2. 股利贴现模型
- 静态模型，每年D元/股，贴现率是
r。
工商银行 D = 0.25元/股， 假设r = 3% + 5% = 8% 不考虑通货膨胀。
在这里代入数字，可以得到这个股票的价格，$P=\frac {0.25}{8\%}=3.125$
这个模型是D和r都是不确定的，每年的D和r都不一样。
- 动态模型
分红按照
g比例每年增长
工商银行 D = 0.25元/股， 假设r = 8%, g = 4%
在这里代入数字，可以得到这个股票的价格，$P=\frac {0.25}{8\%-4\%}=6.25$
1.3. 自由现金流贴现
引入可分配现金的概念，把之前的D定义成自由现金流，根据财报可以查询到 D=1.6元/股 r = 8%, g = 4%
在这里代入数字，可以得到这个股票的价格，$P=\frac {1.6}{8\%-4\%}=40$
2. 貨幣時間價值 part 1: 現值與終值 張翔老師
利息算法： 单利：只有本金升利息，产生的利息不再算利息 复利：利滚利
【范例3.1】
本金4500，利息4%，存八年的本利和。
不同时间点的现金不能做比较和加总，因为货币有时间价值，如果要加减要移动到同一个时间点去做。 如果要把现金流移动到未来，需要用复利模型。 如果要把未来现金流移动到现在，需要做折现。
这里的r就是折现率，是资金的机会成本。
无风险利率，例如一些可信的国家公债。
如果是无风险现金流，折现的时候就需要用无风险利率$R_f$来折现。
如果是风险资产，折现的时候除了无风险利率，还要加上风险溢价(Risk premium，又成为风险贴水)
风险溢价怎么算？这个是风险资产定价模型解决的问题。
时间线基础：
present value interest factor:
在经济学中，现值利息系数（也称为PVIF缩写）在金融理论中用于表示计算结果，该计算结果用于确定偿还贷款所需的月还款额。该计算具有许多可变因素，其中包括借入的数量，给定的利率，偿还贷款的定期间隔数以及贷款期限。
future value interest factor:
同理。
3. 貨幣時間價值 Part 2: 年金 張翔老師
年金现值:
3.1. 年金现值(Present Value)
3.1.1. 普通年金：(ordinary annuity)
annuity是定期发生金额相等的现金流。
计算$PV_0$
计算这个结果需要等比级数和无穷等比级数的知识。
等比数列证明如下：
3.1.2. 期初年金：(annuity annuity)
每一笔的cash flow发生在期初。
3.1.3. 成长型年金：(growing annuity)
3.2. 年金终值(Futrue Value)
3.2.1. 普通年金
可以发现和年金现值因子的关系：
3.2.2. 期初年金
期初年金是普通年金的(1+r)倍，因为可以多复利一期。
或者可以从现值做时间旅行到终值，终值是现值的$(1+r)^n$。
3.2.3. 成长型年金
可以从现值做时间旅行到终值，终值是现值的$(1+r)^n$。
3.3. 练习题
3.3.1. 例3.4
你的妈妈在你5岁存入10000，到25岁的时候可以领，在25岁的时候可以一次性领取，投资报酬率r = 5%。
在25岁时候你选择续存40年，投资报酬率r1 = 8.5%。
在65岁时候你决定分20年领取，每年领取固定的PMT。
请问这里的PMT是多少？
3.3.2. 例3.5
每六个月取得500的年金，存三年。
第一个payment是6个月后，年利率r = 6%，求现值。
直接套普通年金公式：这里用半年利率r = 3%。
3.3.3. 例3.6
年薪80000，每年薪资涨幅9%,工作40年， 假设年利率r = 20%。
套成长型年金折现公式。
3.3.4. 例3.7
(1)每年年底存12w，年投资回报率是10%。20年后有多少退休金？
直接套年金公式。
\[FV_{20}=120000*\frac{1}{0.1}(1.1^{20}-1) = 6872999.94\](2)每月月底存1w，年投资回报率是10%。20年后有多少退休金？
\(FV_{240}=120000*\frac{1}{\frac{0.1}{12}}((1+\frac{0.1}{12})^{240}-1) = 7593688.35\)
3.3.5. 例3.8
5年后退休，希望当时有100w，预期每年投资回报率是8%，每年存多少固定金额CF才能达到这个目标？从当前时期立刻存进去。
期初年金。
4. 貨幣時間價值 Part 3: 永續年金與本息分期攤還貸款 張翔老師
cash flow发生在每一期的期末。 永远不还本金，一直产生cash flow。 永续没有终值，因为一直存在。 只会计算现值。
4.1. 普通永续年金
示意图：
计算公式：
4.2. 成长型永续年金
示意图：
计算公式：
收敛条件： 公比小于1
所以这里的$\frac{1+g}{1+r}<1$，也就是说需要$g<r$
4.3. 范例
4.3.1. 范例3.9
(1) 捐献给学校一笔永续年金，每一年有3w输出给母校做毕业典礼，假设校务基金的每年回报率是8%。
希望第一个party两年后举办，你需要捐多少钱？
普通永续年金：
(2) 如果考虑通货膨胀的话，会考虑成本会以4%比例上升，你需要捐多少钱？
成长型永续年金：
4.3.2. 范例3.10
如果每年存100，存20年，之后每一年还你200，直到永远。在什么利率的情况下，这个交易是个公平的交易。
存100存20年的终值 = 每一年200的现值
4.4. 贷款种类
(1) pure discount loan(贴现贷款)
例如：借900，三年后还1000
相当于借款期间的利率是3.574%。
(2) interest-only loan(纯利息贷款)
例如：借1000，3%的利息，每年利息30，到期后还1000的本金。
(3) fully amartized loan(本息分期偿还贷款)
借1000,每一期还一个固定的PMT,每一期的PMT里有一些是本金有些是利息.
分三期还完，每一期付353.53。
4.5. 范例
4.5.1. 范例3.11
(1) 借1w，分4年，利率r=14%每一年付多少PMT?
(2) 每年有多少利息，多少本金？
本利摊还表来解决：
(3) 在两年之后还欠多少本金？
解法是把在第二年末这个时间点之后的PMT折现到第二年末，因为折现的本质就是把利息r%排除掉。
5. 有效年利率 (Effective Annual Rate, EAR) 與連續複利 (Continuous Compounding) 張翔老師
利率是资金使用的价格。
报价利率和实际利率是不同的，例如今天本金100存一年，银行报价利率(APR, Annual percentage rate
)是12%， 然而真实的利率取决于计息频率q。
假设计息频率是每年，一年后的本利和是100*(1+12%)=112，有效利率(EAR, Effective annual percentage rate)是12%。
如果是每半年计息一次的话，一年后的本利和是$100(1+\frac{12\%}{2})^2=112.36$, 有效利率是12.36%。
如果是每季计息一次的话， 一年后的本利和是$100(1+\frac{12\%}{4})^4=112.55$，有效利率是12.55%。
如果是每月计息一次的话， 一年后的本利和是$100*(1+\frac{12\%}{12})^{12}=112.68$，有效利率是12.68%。
如果是无时无刻不在复利， 每年计息次数q->∞，有效利率是$e^{12\%}-1=12.75\%$
- tips：现金流的折现要用有效利率
EAR, 计息频率和现金流频率是不同的。 现金流频率是资金多久转换成现金流一次，折现率要用对应的频次的有效利率。
转换不同时间长短的利率，名义利率的转换是用乘除计算， 有效利率的转换使用几何计算。 名义半年利率是
\[\frac{APR}{2}\]有效半年利率 \((1+有效半年)^2 = 1+EAR\)
\[EAR = (1+有效半年)^2 -1\] \[有效半年 = (1+EAR)^{\frac{1}{2}}-1\]范例
范例4.1
买一个电话系统，用四年。
选项一，15w一次买四年的使用权
选项一，月付款，每月4000，付四年
你的资金是贷款来的，APR=5%，半年计息一次。所以要租还是买？
计算流程如下：
- 计算租金现值
使用有效月利率折现
- 确定有效月利率
$有效月利率 = (1+EAR)^{\frac{1}{12}}-1$
- 确定有效年利率 $EAR = (1+\frac{APR}{q})^q - 1$
- 确定有效月利率
$有效月利率 = (1+EAR)^{\frac{1}{12}}-1$
把错误的名义月利率换成实际月利率， 如下：
- tips：计息频率和cash flow频率一致的情况下，有效周期利率等于名义周期利率。
以例3.5的case来计算，可得如下：
证明如下：
用这个结论来重新计算例4.1
