赌神数学家：战胜拉斯维加斯和金融市场的财富公式

导读 赢遍赌场和华尔街的科学公式

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面对动态的、不确定的市场，仅凭经验，从历史数据里面找规律，是极其危险的。因此，智商高、过度自信的人，往往容易掉入陷阱。本书中提及的长期资本公司的故事，正是“智商依赖症”的绝佳讽刺。连沃伦·巴菲特都感到惊讶：“十几个平均智商在170左右的家伙”，是如何让自己陷入“输光所有钱的境地”的。

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任何一个模型，都有基础假设；而在实际资本市场，特别是极端市场环境下，假设往往不成立。过度自信、滥用杠杠、蔑视市场，正是长期资本公司失败的最大原因。诺贝尔经济学奖获得者、期权定价公式的发明者，尚且会在面对极端市场时一败涂地，我们普通人又怎么可以狂妄自大？

第一部分 熵的故事

克劳德·香农

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麻省理工的马文·明斯基（Marvin Minsky）曾说道：“自我见到香农的那一刻起，他便成了我心中科学家的范本。无论遇到什么问题，他都能欣然参与其中，并用一些令人惊讶的手段解决一切麻烦，可能是某种新的技术理念，抑或是某种实质性工具，总之问题总能迎刃而解。”

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上大学时，香农已经学习过布尔代数，这并不是工程师们学习的常见课程。布尔代数处理的是简单的概念，比如“对”或“错”以及逻辑关系，比如“和”“或”“否”以及“如果”。任何一种逻辑关系都可以由上述元素组合而成。香农给自己出了个难题：他要把这些逻辑思维中的每一项都译成编码，呈现在电路中。令他欣喜的是，他成功了。实际上，他证明电子计算机可以计算一切。

1937年，香农迅速将他的这一思想公开发表（后来，他再也没有如此迅速发表过任何文章）。一直以来这篇文章都被认为是有史以来最重要的硕士论文。范内瓦·布什深受震动，他坚持让数学系接纳香农攻读博士学位。这项成果意义太过重大，不仅仅造福了电子工程领域。

X项目

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艾伦·图灵破获了德国“谜”密码（Enigma），使同盟国可以窃听到德国指挥部的信息。SIGSALY系统的目的就是确保德国人无法如法炮制。香农的一部分工作就是要证明这个系统确实在没有“答案”的前提下任何人都无法破解。如果得不到数学上的保证，同盟国的指挥官们无法畅所欲言。SIGSALY首次将香农的一些其他想法应用到了实践当中，其中包括与脉冲编码调制相关的一些想法

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后来，香农提到对如何利用随机噪声隐藏信息的思考过程对后来的信息论的一些见解深有启发。他声称：“保密系统与嘈杂的通信系统几乎是完全相同的。”这两条研究主线“联系如此紧密，你无法将其分开”。

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香农几乎没有告诉任何人他在研究什么。他工作的时候习惯关着办公室的门。

伊曼纽尔·基梅尔

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当时，每天公布的数字是由数字运算机抽选的——或多或少是随机的。茨威尔曼的一个合作伙伴名叫斯塔克（Stacher），外号“医生”，他注意到所出数字随机性越小，那么庄家获取的利润就越高。1919年，在斯塔克的提议下，茨威尔曼制定了一项新措施。在收集了当天所有的赌注后，他的人会根据押注金额选定押注最少的数字作为中奖数字。 这样一来，赚钱就非常容易了。但最难的是要处理与之竞争的黑帮和法律方面的问题.

爱德华·索普

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索普犹豫了一下，然后告诉香农自己此前对轮盘赌的想法。香农全神贯注地听着。比起21点系统，他可能对轮盘赌项目更感兴趣，因为又有机会可以制造小器具了。他们聊了好几个小时。当他们结束交谈时，索普已经不经意间把20世纪最了不起的人物之一成功带到了另外一个领域。香农和索普达成一致，同意合作制造轮盘赌博预测机。香农说最佳工作地点就是他的家。

随机性、无序性、不确定性

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有一个非常重要的方法，可以使光纤电缆（或者任何通信通道）与水管区别开来。水不能被压缩，至少在家庭管道中的压力下不会压缩太多。一加仑水总是占据一加仑水所需的水管。你无法为了在同样的水管里放更多的水而将一加仑水压缩成一品脱。信息则不同，将信息缩短或者压缩而又不改变信息的意义通常是很容易做到的。

赶时髦

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香农的成就远远超越了他的前辈们。他的研究成果震惊了所有人，当时就像神奇的魔术一样，现在依然如此。 他的其中一项发现是：通过给信息编码的方式可能将一个通信通道的全部容积充分利用。这一点令人震惊，因为实践中还没有人能够实现类似这样的效果。没有一种传统代码（摩尔斯电码、美国信息交换标准码、简明英语）能够像信息论中所说的如此高效。 这就好比你要把保龄球装进橘子筐里。你会发现无论你怎么安排保龄球，筐子里还是会有很多空隙，对吗？想象一下紧密摆放保龄球使所有空隙都被填满——筐子里的空间全部被保龄球占满，就保龄球和筐子而言你无法做到这一点，但是香农说信息和通信通道之间可以做到。

内幕消息

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投资模型： 凯利公式

凯利是这样描述他的想法的：一个“有内幕消息的赌徒”可以提前知道棒球赛或者赛马的结果。这些消息或许不是百分之百可靠，但足以让下注者占尽先机。下注者能够按照正常的“公平”赔率进行下注。凯利提出的问题是，下注者应该如何使用这份内幕消息？

这并不像你想的那么容易。举一个极端的例子。一个贪婪的赌徒可能会受内幕消息的诱惑，将他全部的资金都押注在一匹赛马上。他押注的钱越多，赢的就越多。 采取这个策略的问题在于所收到的信息不一定准确。处于优势的赛马迟早都可能会输掉比赛。一旦内幕消息有误，那么总是赌上自己全部资金的赌徒将会输光一切。 同样，采取相反的策略也不好。胆小的赌徒可能每次收到内幕消息后都做最小额押注。这样即使信息有误，他也不会损失太多。但是，最小额押注也就意味着盈利最小。那么，胆小的赌徒就浪费了内幕消息提供给他的巨大优势。 赌徒应该怎么做呢？他如何能在不破产的前提下充分利用内幕消息？ 那些以此发家致富的幸运儿们是通过“连本带利赌博”（parlaying）的方式实现这一点的。他们赢了之后会把赢得的钱的一部分或者全部押注在另一匹赛马上，以此类推，这样每一次都会让财富呈指数增加。凯利的结论是赌徒应该像股票或债券投资者一样关注“累积收益”。赌徒应该用每场比赛的盈利百分比来衡量是否成功，而不是用美元来衡量。最佳策略就是能够让你在没有破产风险的前提下获得最高累积收益的策略。 凯利后来表明香农在他的噪声信道理论中用到的数学运算同样适用于贪婪却谨慎的赌徒。正如有可能在不出现任何差错的情况下在通道中发送消息一样，赌徒也可以在不承担破产风险的前提下最大限度地累积财富。香农理论中的鱼和熊掌兼得的属性同样适用于赌博。

凯利描述了一种收到内幕消息的赌徒押注的简单方法，仅适用于马场不收手续费的情况（根本没有这样的马场）或内部消息可信度极高的情况。策略就是每场比赛都将全部资金拿来押注，根据收到的内幕消息——每匹马的获胜概率按比例分配押注金额。 在这个系统中，你实际上对每匹参赛马都进行了押注，肯定有一匹马会获胜。那么，每场比赛中你肯定有押对的马，这样你就永远不会彻底破产。 奇怪的是，这也是增加你财富的最快方式。大多数人觉得难以置信，因为在轮盘赌中对每个数字进行押注是不会发家致富的。

举个最清楚的例子。内幕消息说“战神”（Man o’War）肯定会赢。根据以往的经验，如果内幕信息从未失误过，你就能确定“战神”一定会赢，其他马获胜的概率为0。那么，你就知道怎么分配赌金了——全部押注在“战神”上。当“战神”获胜后，你就可以根据赌金结算公示板上公布的赔率获得相应的收益。显然，这是从完全正确的内幕消息中获利的最佳方法。

长期来看，“信念下注”将会让你可能获得的累积收益最大化——前提是你对赔率的评估比其他人更加准确。 你或许还在疑惑为什么不只押注在最可能获胜的赛马上，简洁地回答，就是最可能获胜的赛马也可能会输。假设你收到非常精确的通讯消息，于是相信“北地舞者”（Northern Dancer）获胜的概率为99%，你把99%的钱押在了“北地舞者”上，那么你兜里还能剩下1%的钱。

押在你认为会输的赛马上的钱是一份非常珍贵的“保单”。一旦罕见的灾难降临，你会为拥有一份保单而倍感欣喜。

凯利公式提出你应该按照这个比例对一项有利赌博进行下注：胜率/赔率。 “胜率”（edge）指的是你对获胜的期待程度。一般来说，假设你可以在相同的概率下不断进行此类投注。它是一个分数，因为收益总是与下注金额成比例。 “赔率”（odds）指的是公众或赌金结算公示板公开的赔付比例。衡量的是如果获胜，你将获得的收益。赔率可能是8：1，意思就是如果获胜，你获得的收益将是8倍投注金+投注本金。

在凯利公式中，赔率未必能对概率做出很好的衡量。赔率是由市场力和其他每个人对获胜概率的信念决定的。这种信念可能是错误的。事实上，一定要是错误的，这样凯利的赌徒才能够占有优势。凯利的赌徒收到的内幕消息中并不包含赔率的信息。

例如，赌金结算公示板上“海饼”的赔率是5：1。赔率也是一个分数，5：1的意思是5/1或者5。其中，这个“5”就是你想要的一切。 内部消息告诉你“秘书”（Secretariat）实际的获胜概率为1/3，那么在“秘书”上押注100美元，就有1/3的机会获得600美元。平均来看，总值就是200美元，净收益为100美元。这样，胜率就是100美元净收益除以100美元投注金，结果是“1”。 凯利公式中，胜率/赔率是1/5。这就是说，你应该把赌金的1/5押在“秘书”上。

下面列举几种情况帮助你理解。首先，如果没有内幕消息，你的胜率就是“0”或者负值。如果你没有内幕消息，那么别人不知道的信息你也不知道，你的胜率就是“0”（或者扣除马场手续费，胜率其实是负值）。如果胜率为“0”，那么根据凯利公式，胜率/赔率=0，所以不要下注。

其次，如果胜率与赔率相等，那么这就是一场稳赢的赛马。你从内幕消息中获得的最有益的信息就是得知这场比赛结果已经确定，这匹马肯定会赢。那么，你能从一场稳赢的赛马中获得多少收益取决于赔率。如果赔率是30：1，那么投注100美元将获得3000美元利润。如果这匹马一定会赢，那么你的胜率和公众赔付率相等（这个案例中都是30）。凯利公式的结果就是30/30或者100%，那么你可以赌上一切财产。

凯利将这种最优化收益等同于“R”，这是香农理论中的信息传输率。最大收益率等于“内幕消息”的传输率。

那么如何在股市中运用凯利公式呢？

负号

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凯利的赌博系统，以其最广泛的数学形式，被称作“凯利准则”。可以应用于任何形式的有利赌博活动中获得最大收益。实际上，最大的难题在于如何找到那些罕见的、赌徒占据优势的赌博环境。凯利意识到有一种人人都可以接触到的有利赌博环境：股票市场。

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凯利曾说过赌博和投资之间只差一个“负号”。有优势的下注叫作“投资”，没有优势的下注则叫作“赌博”。

第三部分 套利的故事

炒股非时

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20世纪50年代末，香农开始对股票市场进行深入研究，这既是为了满足他的求知欲，也是为了赚钱。他买了上百本经济学和投资方面的书，塞满整整3个大书架。这些书中，有亚当·斯密的《国富论》（The Wealth of Nations）、约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）的《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）、保罗·萨缪尔森的《经济学》（Economics）以及实用性更强的投资方面书籍。香农最喜欢的是弗雷德·施韦德（Fred Schwed）写的幽默诙谐的经典之作《客户的游艇在哪里》（Where Are the Customers’Yachts）

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香农并不是第一个想要将才华展现在股票市场中的伟大科学家。被誉为世界上最伟大的数学家的卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）也做股票生意。年薪仅1000泰勒的瑞士数学家欧拉死后留下的现金和证券资产居然高达170587泰勒，但人们对高斯的投资方法一无所知。

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另外，艾萨克·牛顿在投资南海贸易公司时损失了大约2万英镑。按照现在的价格计算，牛顿的损失相当于360万美元。牛顿说：“我能够计算出天体的运动，但计算不出人类的疯狂。”

信念下注

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约翰·梅纳德·凯恩斯曾做出“市场保持非理性的时间比你能支撑的时间长得多”的著名论断。以非理性价格购买某种商品几乎毫无益处，除非你能确保以“理性”价格出售时可以获取利润。你必须要知道其他那些“非理性”的投资者何时能够醒悟并认同你的想法。

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索普投资的是期权，这就是索普计划的美妙之处。市场不会一直保持对认股权证的非理性估算。到期日一到，认股权证就会灰飞烟灭，而随之覆灭的还有对其价值的一切非理性估算。

战胜市场

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克劳德·香农战胜了市场和99.9%的共同基金经理人。1986年，香农的组合投资平均复合收益率为28%——而沃伦·巴菲特的伯克希尔–哈撒韦公司平均收益率为27%（麻省理工学院博物馆供图）。

国际度假村

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索普说真正检验那些大规模投资是否可行的方式就是“你是否睡得着觉”。如果投入数额对他造成太多困扰，他就会缩减投入。

为什么资金经理人无益

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信奉有效市场理论的人们通常认为利用套利机会赚钱太容易，因此价格不会大幅度偏离正常轨道太久。但索普的经验表明并非如此。他了解到套利者通常会受到交易成本、错误定价证券的供应、凯利公式以及其他因素的制约。错误定价回归正常需要经历几周、几个月甚至更长时间，而索普可以利用这段时间以数学上的最高速度从中获利。

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积极投资实际上是一种零和游戏。如果某个积极投资者的表现高于平均值，那么必然有其他积极投资者的表现低于平均值。不要认为积极投资者获得的收益是来自那些懦弱的满足于平均收益的消极投资者，从而逃避这个结论。消极投资者的平均收益与积极投资者的平均收益完全相同，

孤寡

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政府的另一项决策为普林斯顿–纽波特公司提供了全新的机遇。美国政府最终认定AT&T的垄断行为。于是在1981年，这个通信巨头公司被分裂成8个部分。AT&T的每位股东都收到了7个“贝尔子公司”（地区性电话公司）和“新的”AT&T公司的股份。投资者则有可能获得先机，在股票正式发行之前购买贝尔子公司和“新的”AT&T的股份。索普的计算机提示出现了一个奇怪的不一致现象。原AT&T公司的股份比新公司等量股份的价格稍稍便宜一些。 华尔街的分析员们毕生都在分析AT&T，但他们没有注意到这一点。由于价差太小，除去成本费用，几乎无法获得利润，除非有人购买的股票数量巨大。 当时普林斯顿–纽波特公司的资金总额约为6000万美元。索普判断这桩交易几乎不存在任何风险，于是借了一大笔钱购买原AT&T公司500万股股票，同时卖空相应数量的8家新公司股票。这500万股股票花费约3.3亿美元。杠杆率相当于对冲基金资本总额的6倍左右。 这桩交易是纽约股票交易所有史以来最大的一桩交易。索普支付的借贷利息就高达80万美元，但克劳德·香农和约翰·凯利的老东家解体仍让索普净赚160万美元。

第四部分 圣彼得堡悖论的故事

丹尼尔·伯努利

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彼得连续抛硬币，如果硬币落地时“人头”朝上，游戏结束。他同意如果第一次抛掷结果是“人头”朝上，即为成功，游戏结束，他会给保罗1达克特[1]。如果第一次未成功，继续抛掷，第二次结果如果是“人头”朝上，他就给保罗2达克特。如果第二次仍未成功，而第三次结果是“人头”朝上，他会给保罗4达克特。如果第三次仍未成功，第四次结果是“人头”朝上，就给保罗8达克特，以此类推。随着抛硬币次数的增加，他需要付给保罗的钱币将会翻番。假设我们需要计算出保罗的期望值。

赢4达克特的概率为1/8，那么期望值还是1/2。赢8达克特的概率为1/16，赢16达克特的概率为1/32……以此类推。上述每种情况下期望值都是1/2达克特。因此，保罗预期获利总值应该是以1/2达克特为一般项的无穷级数，也就是说他的预期收益是无穷的。

问题是，你最多肯付多少钱参加这个赌局？

丹尼尔用拉丁文发表了上述言论。这种赌博被称为“圣彼得堡游戏”或者“圣彼得堡悖论”。从此，人们便对其产生了些许兴趣。约翰·梅纳德·凯恩斯在1921年出版的《概率论》（Treatise on Probability）一书中对这一悖论有所提及，使其成为20世纪几乎所有经济学家智力架构的组成部分。伯努利的赌博游戏也出现在了冯·诺依曼和摩根斯特恩所写的《博弈论与经济行为》一书中，在肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）、米尔顿·佛里德曼（Milton Friedman）和保罗·萨缪尔森等人的论文中也都出现过。

解决这一悖论简直轻而易举。因为彼得根本无法获得无穷财富来兑现游戏的潜在支出。

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伯努利指出：“物品的价值绝不能建立在其价格基础上，而必须建立在其产生的效用基础上。物品的价格只取决于物品本身，而且对任何人来说都一样；然而，效用取决于做出评估的人所处的特定环境“。

大自然警告，远离赌博

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投资基础： 几何平均数和算术平均数

在棒球比赛和很多其他情况下，通常计算出算数平均数就足够了。为什么我们还要不厌其烦地计算几何平均数呢？

假设现在你拥有10万美元，那么硬币抛出后，你要么拥有20万美元，要么一无所有，出现这两种结果的概率相同。算数平均数为（200000+0）/2，即10万美元。如果你认为10万美是本次赌博的公平恰当的价值，那么你似乎应该对是否接受这次赌博持冷漠态度。因为你现在已经拥有10万美元，而硬币抛出后你的预期资金总额仍为10万美元，根本没有变化。

但人们并不是这样推理问题的。如果你和你的邻居都接受这次赌博，那一定是疯了。因为相较于获胜时拿到双倍资产，一旦失败，你的损失可要大得多。 看一看几何平均数。两个概率相同的结果相乘——$200000×$0——然后求平方根。由于任何数的0倍都为0，所以几何平均数为0。接受这个数值为本次赌博的真正价值，那么你将宁愿守住自己的10万美元资产而不去赌博。

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伯努利表示一个相对贫穷的商人或许会通过买保险的方式改善几何平均数（尽管保险“定价过高”），而同时比较富有的保险公司也通过卖保险的方式改善自己的几何平均数。 伯努利认为理智的人总是能将产出的几何平均数最大化，尽管他们自己并没有意识到这一点：“由于我们的所有命题都与经验完美结合，因此将其看作是依赖于不稳定假设的抽象因素而忽略掉的做法是错误的

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投资模型： 凯利准则

伯努利的言论与约翰·凯利在1956年发表的文章有非常紧密的联系。凯利的法则最终可以被重新陈述为这样一个简单的法则：选择赌博或者投资时，选择最终结果的几何平均数最高的那个。这一法则就是“凯利准则”，比凯利公式“胜率/倍率”在计算赌注大小方面应用更加广泛。

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当可能出现的结果的概率并不完全相同时，你需要根据其概率进行衡量。方法之一就是将预期财富对数最大化。遵循此法则的任何人都表现得好像拥有对数效用一样

亨利·拉塔内

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伯努利考虑的是一个所有牌都摊在桌面上的清明世界，所有概率都众所周知，不存在隐秘信息。而凯利处理的则是比较黑暗模糊的世界，其中有人比其他人更了解概率信息并试图从中获利。正是这一特性的存在对金融市场产生了重大影响。

马科维茨的麻烦

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图4-2　凯利准则与马科维茨准则对比图

第三个轮盘的算数平均数最大。第一个轮盘的几何平均数最大。假设你只有这3个备选，而且必须选择其一，那么凯利准则将会建议你把钱投入到第一个轮盘中。

三个轮盘的方差从左至右依次增加。算数平均收益值也是如此。因此，马科维茨理论拒绝从这三个轮盘中做出选择。因为选择哪个都合理。能够承受风险寻求最高收益的投资者可以选择第三个轮盘。安全起见，宁愿牺牲收益的保守投资者可以选择第一个。对于立场介于二者之间的投资者来说，第二个也是不错的选择。

最后的这个建议让人特别难以理解。大多数人会认为中间的轮盘风险最高，因为只有这个轮盘存在全部亏损的风险。但第二个轮盘的方差比第三个低，因为其产出结果更集中。这就是方差并不能很好评估风险的事例之一。

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只有当赌博利润可以进行再投资时，凯利准则才能发挥作用。假设赌徒开始用1美元投注，然后每周利用赢得的钱进行再投资（他并不额外增加赌资，也不减少现有赌资），如果这个赌徒选择第一个轮盘投注，他每周可以期待财富增加1.41倍。52周之后，他的财富将变成： $1.4152=$67108864

宿怨

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与凯利系统相近的一种哲学思想认为这一点难以接受。为了好好地生存下去，你将不得不放弃驾驶带来的好处，这有些自相矛盾。几乎没有任何人会这样思考问题。正如凯恩斯所说，长远来讲，我们早晚都会死去。我们愿意去承担不可能在我们有生之年对我们造成伤害的风险。

弹球机

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投资模型： 凯利准则的缺陷

下面我将试着用一幅图来呈现，见图4-4。

这幅图将凯利准则比作一台弹球机。这里的美元金额代表你对一场非常有利的抛硬币赌博活动所下的赌注。如果人头朝上，你可以拿回6倍赌金，背面朝上即为输。 下注者的胜率高达200%（每投入1美元，你都有50%的机会获得6美元，其价值即为3美元。下注1美元的平均收益为2美元，或者初始赌金的200%）。赌博的赔率为5：1。那就是说根据凯利公式“胜率/赔率”，结果是2/5或者40%，即凯利赌徒需要投入资金总额的40%。 一旦你开始赌博，会发生什么事呢？

图4-4显示了前4次抛掷可能发生的所有情况。从最上方开始，你的起始资金为100美元，你拿出40%——根据凯利下注法——然后抛硬币。

大多数人对上述这些结果都感到有些不安。最佳情况和最糟情况之间的差别如此巨大。在这16种结果中，有5种情况会让你的最终财富少于初始资金，而且是在4次如此有利的赌博情况下。 16种结果中，有1种结果是你的最终资金远远少于初始资金，所以凯利对避免破产的保证从某种程度上讲是空洞的。好吧，至少你没有输掉所有钱。你仍然有1/16的机会在4次不幸的赌博后输掉87%的资金。 凯利系统导致的财富分布（不同情况下或者平行宇宙中）就像曼哈顿的财富分布一样，存在贫富两极分化的情况，中产阶级比你想象的少得多。

跟上凯利家族的脚步

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行为金融学研究表明人们不仅受绝对收益和损失的驱动，同时也受到嫉妒心理的驱动。我们把自己的投资收益与邻居以及市场指数进行对比，占上风才是“良好”收益。在所有资金管理策略中，从长期来看，只有凯利策略拥有坚不可摧的优势。

尽管行动时间很长

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为什么有些人仍然认为应该使几何平均财富值最大化呢？他们点头表示认同，因为他们感觉“通过这种方式我一定可以赚更多钱，多总比少强”。但是他们错了。他们没有看到的是：当你失败时——而且你确实可能失败——你会输得很惨。回答完毕。

千赌一面

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凯利赌博的资金波动遵循一个简单的法则。在根据凯利准则进行无限次连续下注后，你的资金跌至初始金额一半的概率为1/2。 这对于连续下注的理想化赌博活动是非常正确的。对于更加常见的离散型下注的情况（21点、赛马等）也近乎正确。类似的法则适用于任何比例，即1/n。资金跌至初始资金1/3的概率为1/3，跌至总资金1%的概率为1%。 好消息是资金跌为0的概率为0。因为你永远不会破产，所以你总能够收复失地。 坏消息是无论你变得多富有，都存在财富严重下跌的风险。1/n的法则适用于赌博的任何阶段。

破烂推销

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“根据成瘾防治及心理健康中心科研专家奈杰尔E.特纳博士所说，增量赌博（凯利系统中的赌博形式）是赌博成瘾的人的一个警示信号。”

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索普本人写道：“根据我的经验，使用凯利准则的大多数谨慎的赌徒或投资者常常会发现资金削减的频率实在过高。”赌博群体已经开辟出减弱凯利系统出现的可怕波动的途径。索普在普林斯顿-纽波特公司也采用了类似的方法，我们很难夸大这些方法的重要性。如果对冲基金的资产价值与连续投注的凯利赌徒的资金一样不稳定的话，这个对冲基金是不可能在市场中实现运作的。有两种方法可以缓和这种波动。 一种是以凯利赌注金额的固定比例进行投注。和从前一样，你要决定哪种投资或者投资组合的几何平均数最大。然后，在设定赌金时要少于凯利准则的全部赌金。赌徒们很喜欢的一种方式就是“减半凯利模式”。你的投注金额总是凯利赌注金额的一半

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投资模型： 凯利系统的分类

雷·迪林杰（Ray Dillinger）在网络上将凯利准则描述为“进取型投资”和“癫狂型投资”之间的“清晰分界线”。这种说法恰当地描述出凯利系统零破产风险这一特性的吸引力。图4-6中呈现的是复合收益与赌金（头寸）规模的比较。横坐标划分出来的单位称为凯利比例。“1”代表标准的凯利投注（本身就是投资者财富值的既定比例），“0”代表不投注，“2”代表双倍凯利投注。复合收益值的顶峰在标准凯利投注处出现。曲线顶部出现横向切线，你减少或增加一点赌注都不会对收益率造成太大影响。

即使最好的计算机阻碍模型也很容易高估胜率，可能高达正常的2倍。这就是说，如果某个人试图根据凯利公式进行投注，他很可能无意中进行了双倍凯利投注——这样就将收益率降低至0。而小比例执行凯利准则时并不会牺牲太多收益。即使出现错误，赌博者陷入癫狂模式的可能性也更低。

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1997年在蒙特利尔的演讲中，索普将自己的观点压缩成为4句话：

• 获得长线复合收益的个人或者机构应该考虑到利用凯利准则逐渐将其财富预期复合增长率最大化的可能性。
• 对中期风险容忍度较低的投资者或许更喜欢采用小比例投注。
• 长线投资者应该避免使用大比例投注（“过度投注”）。
• 因此，由于未来的可能性是不确定的，长线投资者应该进一步限制他们的投资比例以防止过度投注的重大风险。

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1987年10月19日黑色星期一的崩盘对普林斯顿–纽波特公司的市场中立性进行了严峻的考验。道琼斯指数的价值在一天之内下跌了23%，是有史以来单日下跌幅度最大的一次。而普林斯顿–纽波特公司价值6亿美元的投资组合在这次崩盘中仅蒸发掉200万美元左右。索普的计算机立即发出警报，提醒他这种惊慌失措估价情况中暗含丰富的机遇。在

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凯利系统与包括对数正态随机游走模型在内的任何预测市场“应该”如何表现的特殊模型之间并没有紧密联系。几何平均数最大化的方法适用于跳蚤般的跳跃，也适用于任何可以精确描述的模型。相反，均值方差分析则不适合处理股价呈跳蚤般跳跃的情况，因为无法仅通过马科维茨理论运用的两个数字描述出来。

第五部分 《反诈骗腐败组织集团犯罪法》的故事

鲁道夫·朱利安尼

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在美国诉特克埃提案件期间，朱利安尼阅读了黑手党大佬乔·博纳诺（Joe Bonanno）的回忆录《正人君子》（Man of Honor）。博纳诺的书中详细描述了黑帮的内部运作。后来朱利安尼写道：“我梦想利用《反诈骗腐败组织集团犯罪法》起诉本身就是‘腐败企业’的黑手党领导层。”

第六部分 大爆炸的故事

我对此感觉不妙

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摩根的两位分析师，迪尔·古迪曼（Til Guldimann）和雅克·隆格斯德（Jacques Longerstaey），设计了风险价值法。这个概念很简单，计算出一个投资组合在特定时间框架下能够承受的损失以及概率。风险价值报告或许会说在下一天交易中某个投资组合损失164万美元或者超过这个数目的概率为1/20。

窃贼的世界

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投资案例： 长期资本管理公司的故事

长期资本管理公司投资者还了解到基金使用了近30倍的杠杆。投资者每投资1美元，基金都会再借来29美元。这就意味着基金能够获得30倍利润。在偿付出借人之后，还能获得最初资金的0.67%利润的30倍，或者说20%的利润。

1998年7月，国际货币基金组织（International Monetary Fund）向俄罗斯银行提供了一笔170亿美元的贷款。据报告，这笔贷款中约有45亿美元迅速流入黑帮的境外银行账户。 这些由黑帮控制的银行并没打算偿还西方的贷款。美国财政部的信誉记录毫无污点，因此经济学家们经常错误地利用“零风险”投资理论定义其债券。但在俄罗斯，没人会犯这种错误。俄罗斯的国债叫作GKO，利率高达40%以上。俄罗斯约一半的税收都被用于支付国债的利息。 长期资本管理公司的格雷格·霍金斯设计了一桩巧妙的交易，使基金可以获得以美元结算的GKO利息。霍金斯对俄罗斯财政部或者黑帮控制的俄罗斯银行并没抱有幻想。在他的安排下，长期资本管理公司与这些可疑的团体并无直接接触。长期资本管理公司只与西方银行进行交易，由他们负责去和俄罗斯人打交道。俄罗斯银行始终与长期资本管理公司保持一定的距离，就像放在危险品室里的病毒一样被隔离。 霍金斯在1997年开始运行这项交易。到1998年8月，GKO的利率达到70%。后来在8月17日，谢尔盖·基里延科（Sergei Kiriyenko）总理宣布卢布贬值以及不履行GKO债务约定的决定。 这导致了长期资本管理公司的崩盘。

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正如马克·吐温所写：“银行家就是艳阳天借给你雨伞但雨天立即收回的人。”长期资本管理公司的债权人不再为其提供新贷款，并坚持要求基金提供现金（安全证券）以保护贷方免受进一步损失。8月末，梅里韦瑟给美林证券主席赫布·艾莉森（Herb Allison）打电话要求追加3亿～5亿美元资金，艾莉森回答说：“约翰，我不确定募集这笔资金对你是否有利，看起来你们好像遇到了麻烦。”

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沃伦·巴菲特惊讶于“10或者15个平均智商在170左右的家伙”是如何让自己陷入“输光所有钱的境地”的。这可以追溯到1738年，和丹尼尔·伯努利的观点差不多。当时他写道：“无论可能获得多高的收益，冒险赌上全部财产的人都像是个傻瓜。”

大尾巴效应与科学怪人

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这些接管了金融界的计算机奇才们犯了一个致命的错误，就是过于相信他们的机器。受到人类不可预知本性的影响，这些计算机模型枯萎了。罗杰·洛温斯坦畅销书《营救华尔街》（When Genius Failed）指责默顿和斯科尔斯忘记了控制着现实交易者们的那种掠夺性的、贪得无厌的、压倒性的自保本能。他们忽略了人的因素。

生存动机

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然后你或许会问长期资本管理公司如果利用凯利系统，为什么能获得更好的结果呢？答案是，因为凯利准则比很多其他系统对人类所犯的错误更加宽容——包括长期资本管理公司采用的高度杠杆的方法。回想一下同时对大量抛硬币活动下注的例子，每枚硬币出现人头朝上的概率为55%。凯利赌徒几乎赌上了全部资金，将赌金平均分配到所有硬币上。他拒绝赌上全部资金是因为存在极小的概率会出现所有硬币都背面朝上的结果。

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短期之内获得优于凯利赌徒的表现是很容易的。某个忽视“保险”并将全部资金分散投资于数百个同时进行的有利赌博活动的人可能不会在短期之内后悔自己的决定。那么，为什么到此为止了呢？你可以更激进一点使用杠杆。借来29倍资金加到你的赌金中，并将其分派到所有硬币上，那么你将获得30倍的平均收益。

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投资模型： 错误估算胜率加杠杆导致的大尾巴效应

图6-1 大尾巴和杠杆

假设你正在对同时抛掷的硬币下注，这次赌博活动被认为有55%的概率会出现人头朝上的结果，同本书之前描述的情况一样。但是这次投掷过后，只有45%的硬币人头朝上。在某人的计算机模型里这叫作“大尾巴”事件、相关系数分析失败，或者是一个极为荒唐的错误。然后呢？ 凯利赌徒不会在一次抛掷后就破产（他已经做好准备可以在最糟糕的情况下，即0个人头朝上的情况下存活下来）。在这种有很多枚硬币的情况下，凯利赌徒只会赌上全部资金的一部分作为赌注。他赢了45%赌注，使押注在人头朝上的硬币上的赌金翻倍。凯利赌徒因此至少保住了资金的90%。

如果说背面朝上占多数的情况只是运气不好的话，凯利赌徒可以期待在后续抛掷中收复失地。如果“真正的”获胜概率实际上比预估的55%低，那么准凯利赌徒们实际上就是在超额下注。这就会减少复合收益并增加波动性。无论如何，凯利赌徒将有时间生存和学习，在此过程中修正概率估算。

凯利公式是用来确定在一系列赌博或投资中，应该投注或投资多少比例的资金以最大化资金增长当然，让我详细解释一下凯利公式是如何工作的，以及如何应用到您提供的例子中。

凯利公式是用来确定在一系列赌博或投资中，应该投注或投资多少比例的资金以最大化资金增长的。公式如下：

\[f^* = \frac{bp - q}{b}\]

其中：

• $f^*$ 是应该投注的资金比例。
• $b$ 是每次赌博的净赢利比率，计算为赔率减1。
• $p$ 是获胜的概率。
• $q$ 是失去的概率，等于 $1 - p$。

在您的例子中，赔率是2，这意味着如果您赢了，您将获得您投注金额的两倍。所以，$b = 2 - 1 = 1$。您也提到，赢的概率是55%，所以 $p = 0.55$。因此，失去的概率 $q = 1 - 0.55 = 0.45$。

将这些值代入凯利公式中，我们得到：

\[f^* = \frac{1 \times 0.55 - 0.45}{1} = 0.10\]

这意味着您应该投注您总资金的10%。凯利公式的目的是在风险和回报之间找到平衡点，以实现最优的长期资金增长。在这个例子中，按照公式的结果，投注10%的资金可以在保持合理风险水平的同时最大化您的长期收益。

约翰·凯利的风险哲学核心内容可以不用数学知识进行阐述，因为即使不太可能发生的事情最终也一定会发生。因此，任何接受尽失一切的微小风险的人迟早会输掉一切。最终的复合收益率对大尾巴效应是极其敏感的。

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投资模型： 均值方差映射图的弊端

北卡罗来纳大学的理查德·麦科恩纳利指出，我们熟悉的均值方差映射图并不是将这个问题视觉化的好方法。在均值方差映射图［见图6-2a）］中，收益随着杠杆的增加呈直线增长，风险也随之增加，但是这张图表没有揭示出一个非常积极进取而且对风险有高度承受力的交易者为什么不应该将杠杆率增加到任何可达到的程度。在凯利映射图［见图6-2b）］中，收益的线是一条曲线，最终回到0点以及负收益值。

至于哪个映射图是“正确的”，并没有明确答案。因为在不同的情境下，两张图都可能是正确的。高度利用杠杆的超额下注者很可能在不平行进行的多次赌博中表现良好。当赌博随着时间累加时，凯利映射图就变得至关重要。长期资本管理公司采用的策略是失败的，该基金的名字也带有冷酷的讽刺意味，长期资本管理公司恰好没能实现长期管理。

情感丰富的人生经历

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现在一个很普遍的现象就是，基金经理对基金投资者的财富具有召唤权。经理人们分享收益，但不直接分享投资者的损失。具体参见图6-3。

投资者根据几个基准点的收益优势选择投入哪家基金公司。这就成为基金经理人们竭尽全力增加收益的最大诱因。要做到这一点的一个方法是冒着“俄罗斯轮盘赌”的风险，短期内可能会获得偿付，但存在破产的可能性。人类的天性和单一阶段的金融模式很容易蒙蔽当事人，使其看不到存在的长线风险。 风险管理是在工作中很难学的一门课程。可能经历数年毁灭性的超额下注才会让一个交易员遭遇大爆炸。一旦发生这种情况，他的职业生涯或许就结束了。

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要阐述资金管理的必要性，最好的方法就是让你亲眼看到自己的钱在进行正期望赌博时突然损失殆尽。仅用随机微分方程是不可能达到这种撕心裂肺的效果的。正如《客户的游艇在哪里》的作者弗雷德·施韦德在1940年所写：“正如所有情感丰富的人生经历一样，输掉重要钱财的确切滋味是无法用文字表达的。”

第七部分 信号与噪音的故事

香农的投资组合

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1986年，《巴伦周刊》（Barron’s）发布了一篇文章，列出了77位资金经理人的近期表现的排名。文章中虽然没有提到克劳德·香农，但他的表现仅次于3位专业人士。《巴伦周刊》所列的资金经理人大多数都来自规模多达100人的大公司。而香农是和他的妻子合作，还有一台破旧的苹果Ⅱ电脑。 1986年8月11日，《巴伦周刊》汇报了1026家互惠基金的近期表现。香农取得的收益高于其中的1025家。

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香农强调：“我们能够根据对公司管理以及市场对公司产品的未来需求的评估推断出有关收益增长的信息……长期来看，股票价格将会跟从收益增长。”因此，他几乎不关注价格的走势或波动。他说：“我认为关键数据不是在过去的几年或者几个月里股票价格的变化程度，而是在过去的几年里收益的变化程度。”

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香农夫妇会拜访新创办的技术公司并和经营者交谈

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只要有可能，他们都会尽力对卖给公众的企业产品进行检验。当他们考虑投资肯德基股票时，他们买来肯德基的鸡肉食品款待朋友并观察他们的反应。香农说：“如果我们尝试了公司的产品后发现并不喜欢，我们就不会考虑投资该公司

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1981年1月22日的一张计算机输出表格中，香农的投资组合如表7-1所示。 表7-1　财富公式

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香农的投资组合应该会让哈里·马科维茨（或者任何金融顾问）都为之震惊。到此时为止，几乎81%的投资组合都押在了特利丹这一只股票上。持股最多的三只股票占了投资组合总数的98%

指标计划

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索普的成就令人费解的地方在于，他那种在旧的市场无效情况失效后总能不断发现新的市场无效情况的能力。这是一种天赋，就像发现新定理或者即兴爵士表演一样。尽管如此，统计套利从某种程度上要比传统的投资组合经理人凭直觉进行的交易更容易理解。这是一种运算法则，是交易员通过一行行计算机代码费力地计算出来的。统计套利操作的成功足以说明市场上总是存在无效的情况，凯利准则指导下的资金管理系统可以利用这些无效情况获得高于市场的收益，而同时不必承担破产风险。因此，像山脊线、大奖章和大本营这样的基金公司向有效市场理论学家们的挑战可能会比伯克希尔·哈撒韦更加明确。

香港辛迪加

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计算机赌博团队的经营属于劳动密集型工作。需要多达数百人挤到下注窗口去连续不断地更新模型的数据库。本特的模型不仅利用公开的骑师和重点位置等数据，还利用了大约130个变量。这个辛迪加雇人查看每场比赛的视频资料，四处搜集像一匹赛马是否在拐弯时撞到了或者赛马恢复得如何这样的数据信息。 第一个获胜季在1986～1987年。几乎是在资金刚开始流入时，本特和伍兹就开始为利润分配而争吵。辛迪加分崩离析，每位合伙人获得了一份软件副本。几年内，本特、伍兹和西蒙斯都成了千万富翁。

无穷数的阴暗面

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爱德华·索普在2002年10月关闭了山脊线合伙公司，他似乎表现得正合时机。自2002年起，大多数时候统计套利操作的收益都很一般。也许市场已经开始适应——或者只是在等待某个人的新改良软件的出现。